Эффективная граница: доходность, риск и состав портфеля

Эффективная граница — это набор портфелей, которые дают минимальный модельный риск для заданного уровня ожидаемой доходности при тех же активах и ограничениях. На графике по горизонтали отложена годовая волатильность, по вертикали — модельная годовая доходность. Чем левее точка, тем ниже риск; чем выше, тем больше расчётная доходность.

Что означает «эффективный»

Портфель на границе нельзя улучшить сразу по двум измерениям внутри модели: для той же доходности найти меньший риск уже не получится. Но это не значит, что он лучше всех для конкретного инвестора. Более высокая точка обычно требует принять больше волатильности, а выбор места на границе остаётся компромиссом между целью и переносимым риском.

Как строится точка

Для серии целевых доходностей решается задача квадратичного программирования: минимизировать дисперсию при сумме весов 100%, заданной доходности и ограничениях каждого актива. Если ограничения делают цель недостижимой, такой точки на графике нет. Поэтому граница — не декоративная линия вокруг результата, а семейство отдельных решённых задач.

Минимальная волатильность и максимальный Шарп

Портфель минимальной волатильности — крайняя левая точка доступной границы. Он отвечает только на вопрос о риске и не пытается получить максимальную доходность. Портфель максимального модельного Шарпа выбирается по отношению превышения доходности над безрисковой ставкой к волатильности; в проекте ставка равна 2% годовых. Он может находиться правее и выше точки минимального риска.

На графике ромбы обозначают исходный, равновесный и оптимизированный варианты. Исходный портфель может оказаться ниже или правее границы: это значит, что в модели существовали более эффективные сочетания тех же активов. Но переход к ним имеет смысл обсуждать только после проверки ограничений, фактического бэктеста и устойчивости к другому периоду.

Почему не все цели лежат на этой линии

Граница принадлежит mean-variance модели. Омега, Калмар и Сортино оптимизируются по фактической последовательности месячных доходностей с ребалансировкой. Максимальная просадка зависит от пути капитала, Омега — от суммы результатов по сторонам порога, Сортино — от отрицательных отклонений и CAGR. Их лучший портфель не обязан минимизировать дисперсию для какой-либо целевой доходности, поэтому может находиться вне линии.

Как ограничения меняют график

• Минимальные доли исключают часть крайне концентрированных решений и могут поднять минимально достижимый риск.
• Максимальные доли ограничивают концентрацию, но одновременно сужают набор доступных доходностей и весов.
• Добавление актива меняет всю задачу: сравнивать границы разных вселенных как простое улучшение одной линии нельзя.
• Другой период или валюта меняет средние и ковариации, а значит — форму и положение границы.

Главное ограничение красивой линии

Средние доходности и ковариации оценены по прошлому и содержат ошибку. Небольшое изменение входных данных способно заметно переместить оптимальные веса, особенно когда активы похожи. Эффективная граница точна относительно своих оценок, но сами оценки не являются точными прогнозами. Смотрите на график как на карту исторических компромиссов, а не как на меню гарантированных будущих результатов.